Функция МОПРЕД для нахождения детерминанта матрицы в Excel
Функция МОПРЕД в Excel используется для работы с прямоугольными матрицами. Задаваемыми в качестве статических массивов или диапазонов ячеек с числовыми данными, и вычисляет детерминант (определитель) исследуемой матрицы.
Матрица – математический объект, состоящий из совокупности строк из столбцов, каждый элемент которых содержит определенное числовое значение. Детерминант – один из основных вычисляемых параметров матрицы, характеризующих ее ключевые свойства.
Пример функции МОПРЕД для вычисления детерминанта матрицы в Excel
Примеры использования функции МОПРЕД в Excel.
Пример 1. Одним из свойств матриц является то, что определитель (детерминант) исходной матрицы соответствует определителю транспонированной матрицы. Доказать справедливость этого суждения с использованием средств Excel.
Вид таблицы с данными:
Для получения транспонированной матрицы выделим соответствующий по количеству строк и столбцов диапазон ячеек и используем следующую формулу (формула массива CTRL+SHIFT+Enter):
=ТРАНСП(A2:C4)
- A2:A4 – диапазон ячеек со значениями исходной матрицы.
В результате получим:
Рассчитаем детерминант для каждой матрицы отдельно:
=МОПРЕД(A2:C4)
=МОПРЕД(E2:G4)
- A2:C4 и E2:G4 – диапазоны ячеек со значениями исходной и транспонированной матриц соответственно.
Полученные результаты:
Во избежание промежуточных вычислений можно было использовать формулу массива CTRL+SHIFT+Enter:
=МОПРЕД(ТРАНСП(A2:C4))
Результат вычислений:
В результате вычислений формул Excel детерминант – доказан!
Решение системы линейных уравнений по методу Крамера в Excel
Пример 2. Решить систему линейных уравнений с использованием метода Крамера. Для расчета необходимо найти определители нескольких матриц.
Вид таблицы данных:
Для нахождения решений методом Крамера выделим три матрицы.
Если детерминант первой матрицы равен нулю, исходная система уравнений имеет бесконечное число решений. Проверим это условие с помощью формулы:
=МОПРЕД(A6:B7)
Результат вычислений:
Так как детерминант основной матрицы (Матрица 1) не равен нулю, система имеет единственное решение. Для нахождения значения переменных X и Y используем формулы:
=МОПРЕД(C6:D7)/B8
=МОПРЕД(E6:F7)/B8
Результаты вычислений:
Принцип работы функции МОПРЕД в Excel
Функция МОПРЕД имеет следующую синтаксическую запись:
=МОПРЕД(массив)
Единственным аргументом рассматриваемой функции является массив, который обязателен для заполнения. Он может быть указан в виде статического массива или ссылки на диапазон ячеек.
Примечания:
- Диапазон ячеек или статический массив должен иметь равное количество строк и столбцов, иначе результатом работы функции МОПРЕД будет код ошибки #ЗНАЧ!.
- Если диапазон ячеек или массив, переданные в качестве аргумента рассматриваемой функции, содержат текстовые данные или пустые значения, в результате будет возвращен код ошибки #ЗНАЧ!.
- Функция МОПРЕД значительно упрощает процесс расчета детерминанта матрицы. Пользователь Excel может выполнить расчеты самостоятельно. Например, для прямоугольной матрицы, значения которой находятся в диапазоне A1:C3 рассчитать детерминант можно следующим способом: A1*(B2*C3-B3*C2) + A2*(B3*C1-B1*C3) + A3*(B1*C2-B2*C1).
- Точность расчетов функции МОПРЕД составляет примерно 1E-16, то есть до 16 знаков после запятой. Для более точных расчетов (что требуется крайне редко) используют другие методы определения детерминанта матрицы.
- Значение детерминанта используют для поиска решений системы линейных уравнений.